rudless.

PRODUITS REMARQUABLES

• Produits de la somme de deux nombres par leur différence
`(a+b)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2`
En éliminant les termes opposés, nous restons avec `a^2-b^2`
`(a+b)(a-b)=a^2-b^2`
Conclusion : le produit de la somme de deux nombres par leur différence est égal à la différence des carrés de ces nombres.

Exemples

1. `(3x^2-4y)(3x^2+4y)=(3x^2)^2-(4y) ^2`
`=9x^4-16y^2`
2. `(5+x)(5-x)=x^2-5^2`
`=x^2-25`
• Carré d'un binôme
a) Carré d'une somme
`(a+b)^2=(a+b)(a+b)`=`a^2+ab+ab+b^2`
=`a^2+2ab+b^2`
`(a+b)^2=``a^2+2ab+b^2`
Conclusion : le carré de la somme de deux nombres est égal à la somme des carrés de ces nombres augmentée de leur double produit.

b) Carré d'une différence

`(a-b)^2=(a-b)(a-b)`=`a^2-ab-ab+b^2`
=`a^2-2ab+b^2`
`(a-b)^2`=`a^2-2ab+b^2`


Exemple

1. `(4a^2-1)^2=(4a^2)^2-2(4a^2)(1)+(-1)^2`=`16a^4-8a^2+1`
2. `(2a^4-3)^2=(2a^4)^2-2(2a^4)(3)+3^2`=`4a^8-12a^4+3^2`


Remarque

L'opposé de `a+b` est `(-a-b)`. Ils ont le même carré.
`(-a-b)^2=(a+b)^2`
• Cube d'un binôme
a)Cube d'une somme
`(a+b)^3=(a+b)^2(a+b)`
`=(a^2+ab+ab+b^2)(a+b)`
`=(a^2+2ab+b^2)(a+b)`
`=a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3`
`(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3`

b) Cube d'une différence

`(a-b)^3=[a(-b)]^3`
`=a^3+3a^2(-b)+3ab^2+(-b)^3`
`=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3`
`(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3`


Exemple

`(3x+2)^3`
`=(3x)^3+3(3x)^2.(2)+3(3x)(2)^2+(2)^3`
`=27x^3+53x^2+36x+8`


Exercices d'auto-évaluation

Développer les expressions suivantes:
1. `(2x+y^2)^3`
2. `(x^2-1)^3`
3. `(2x^2-3y)^3`
4. `((2x^4)/3-(3x^2)/2)^3`

AUTRES PRODUITS REMARQUABLES

• `(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3`
  \(=a^3+b^3\)
• `(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3`
  \(=a^3-b^3\)

  Exemple

  1°. `(x+1)(x^2-x+1)=x^3+1^3`
  `=x^3+1`
  2°. `(2x-y^2)(4x^2+2xy^2+y^4)`
  \(=8x^3-y^6\)
• Carré d'un polynôme
  
  `(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2abc+2ac+2bc`

DECOMPOSITION EN FACTEURS OU FACTORISATION

Définition

Factoriser ou décomposer une expression algébrique, c'est l'écrire sous forme d'un produit des facteurs.

Méthodes des factorisations

• Mise en évidence

Lorsque tous les termes d'un polynôme ont des facteurs communs, on commence toujours par mettre ces facteurs en évidence. Pour mettre en évidence un facteur commun à tous les termes d'un polynôme, on procède comme suit:

• On écrit ce facteur commun
• On multiplie par une parenthèse contenant le quotient du polynôme pour ce facteur commun.

Remarque

1°Dans la parenthèse, il y a autant de termes que dans le polynôme.

Exemple

a) `3a+3b-3c=(a+b-c)`
b) `5a^2b^2-2a^3b=a^2b(5b-2a)`
c) `4x^3-8x^2+2x=2x(2x^2-4x)`
d) `132x+360y-84=12(11x+30y-7)`
e)`a^2x^4-4abc^4-a^2cxb=a(ax^4-4bc^4-acxb)`



Un groupement convenable peut faire apparaître un facteur commun



Exemple

\(ax+bx+ay+by\)
\(x(a+b)+y(a+b)\)
\((a+b)(x+y)\)

Un changement de signe peut faire apparaître un facteur commun



Exemple

\(3(a-2)+b(2-a)\)
\(3(a-2)-b(a-2)\)
\((a-2)(3-b)\)
• Emploi des identités remarquables

Lorsque le polynôme donné est le développement d'un produit remarquable, on utilise les identités

Exemple

a) `x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)``=(x-1)(x+1)(x^2+1)`

b) `16-(2x+1)^2=``[4-(2x+1)][4+(2x+1)]`
`=(3-2x)(5+2x)`

Différence de deux carrés

`(a^2-b^2)=(a-b)(a+b)`



Exemple

Factoriser les expressions suivantes:

1) `4a^2-9b^2=(2a-3b)(2a+3b)`
2) `9x^2-4y^2=(9x-4y)(9x+4y)`
3) `(x-y)^2=[(x-y)-6][(x-y)+6]`

Trinôme carré parfait

`a^2+2ab+b^2=(a+b)^2`
`a^2-2ab+b^2=(a-b)^2`


Exemple

1) `4-4x+x^2=(2-x)^2`
2) `4+4x+x^2=(2+x)^2`
3) `a^4+2a^2+1=(a^2+1)^2`
4) `4a^2-12ab+9b^2=(2a-3b)^2`
5) `(a-b)^2+2(a-b)c+c^2=(a-b+c)^2`
• Quatrinôme cube parfait
`(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3`
`(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3`


Exemple

`x^6-3x^4+3x^2y^2-y^3=(x^2-y)^3`
`(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3`
`(x^2-y)^3=x^6-3x^4y+3x^2y^2-y^3`


Remarque

Tout quatrinôme n'est pas nécessairement un cube parfait

Somme ou différence de deux cubes

`a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)`
`a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)`


Exemple

1)`8x^3-y^6=(2x-y^2)(4x^2+2xy^2+y^4)`
2)`x^3+1/27=(x+1/3)(x^2-1/3x+1/9)`



Autres exemples

1°)`3x^2-12y^2=3(x^2-4y^2)=3[(x-2y)(x-2y)]`
2°)`3x^3+6x^2+3x=3x(x^2+2x+1)=3x(x+1)^2`
3°) `16a^4+2a+24a^3+12a^2=2a(8a^3+1+12a^2+6a)``=2a(2a+1)^3`

- Ces trois exemples montrent qu'avant d'employer les identités remarquables, on doit d'abord songer à la mise en évidence.
- Il faut toujours pousser la décomposition le plus loin possible.
• Groupement des termes

Il s'agit de grouper les termes pour faire apparaître les monômes ou facteurs communs ou encore identité remarquable.

Exemple

`x^5-4x^3+4-x^2=(x^5-4x^3)-(x^2-4)`
`=x^3(x^2-4)-(x^2-4)`
`=(x^2-4)(x^3-1)`
`=(x-2)(x+2)(x-1)(x^2+x+1)`

• Décomposition d'un trinôme di second degré en `x`.
1. `a=1`



Pour décomposer un trinôme du second degré \(ax^2+bx+c\) avec `(a!=o)`:


• On met en évidence le coefficient de `a`;
• On ajoute et on retranche le nombre réel (positif) qui forme les termes en `x^2` en \(x\) le développement du carré d'un binôme en \(x\).
• On obtient ainsi une différence de deux carrés et la décomposition est possible ; soit une somme de deux carrés et la décomposition est impossible dans `RR`.

Exemple

Décomposer le trinôme \(x^2+10x+21\)



Remarquons que `x^2` et `10x` sont mes deux premiers termes di développement de `(x+5)^2`. En effet, `(x+5)^2=x^2+10x+25`



Nous transformons de la manière suivante :
\(x^2+10x+21)\=`x^2+10x+25-21-25+21`
`=(x+5)^2-4`
`=(x+5)^2-2^2`
`=(x+5+2)(x+5-2)`
`=(x+7)(x+3)`

Soit nous pouvons chercheur deux nombres `p` et `q` tels que `p+q=b` et `p*q=c`. Alors \(x^2+bx+c\)=`(x+p)(x+q)`


Exemple

1) \(x^2+10x+21\)

`p=3` et `q=7`
`p+q=10`
`=3+7=10`
`p*q=3*7``=21`
`=(x+3)(x+7)`

2) `x^2+3x+2`
`p+q=2+1=3`
`p*q=2*1``=2`
`=(x+2)(x+1)`

3) `x^2+2x+5`.
Ce trinôme n'est pas décomposable.

2.`a!=0`



On cherche deux nombres `m` et `n` tels que `n+m`=b et `n*m=a*c`; on dédouble `bx` en `mx`.

Exemple

Décomposer :
1) `2x^2+5x+2`
`m=1` et `n=4`.

`m+n=5` `=> 1+4=5`
`m*n=2x2` `=> 1.4=4`
`(x+1)(2x+4)`

2) `3y^2-5y+2`
`m=-3` et `n=-2`

`m+n=-5`
`m*n=6`
`(3y-3)(y-2)`